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67 环 同 态

发布时间:2019-06-07 10:55 来源:未知 编辑:admin

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  §6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.7.4 环 同 态 理想 环中合同关系 环同态与同构 单纯环与极大理想 6.7.1 理想 定义. 是一个环, 的一个子集 的一个子集N说 定义 设R是一个环,R的一个子集 说 是一个环 的一个理想子环, 理想, 是R的一个理想子环,简称理想,如果 的一个理想子环 简称理想 非空; (1) N非空; ) 非空 (2) 若a∈N,b∈N,则a-b∈N; ) ∈ ∈ 则 ∈ х∈R,则 (3) 若a∈N,х∈ 则 ∈ х∈ aх∈ хa∈N。 х∈N,х ∈ 。 х∈ 平凡理想: , 平凡理想:{0},R 理想的例 为实数域上的二阶正方矩阵环, 设R为实数域上的二阶正方矩阵环, 为实数域上的二阶正方矩阵环 的所有元素组成的子集为 N,则N为R的子环,但不是 的理想。 的子环, 的理想。 , 为 的子环 但不是R的理想 比如, 比如,取x= xa = ?1 0 ? ? ?1 0 ? ? ? ? ?1 0 ? ∈R,a= ? 0 0 ? ∈N,则 , ? , ? ? ? ? a 0? ? ?0 0? ? ? 形如 ? ?1 0 ??1 0 ? ?1 0 ? ? ?1 0 ?? 0 0 ? = ?1 0 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? N。 。 结论1. 理想一定是子环,但子环未必是理想。 结论 理想一定是子环,但子环未必是理想。 结论2. 任意体R只有平凡理想 只有平凡理想。 结论 任意体 只有平凡理想。 证明: 任取R的理想 的理想N, 证明: 任取 的理想 ,若N={0},则得证。 ,则得证。 否则,往证N=R。 否则,往证 。 因N≠ {0},故存在 ∈N,且a≠ 0。 于是 ≠ ,故存在a∈ , ≠ 。 a的逆元素 的逆元素a R。 N为理想知 为理想知, 有a的逆元素a-1∈R。由N为理想知,有 a-1 a∈N,即R中的 ∈N。 中的1∈ 。 ∈ , 中的 从而对R中任意元素 都有x 中任意元素x, 从而对 中任意元素 ,都有 = 1x∈N。 ∈ 。 因此, 因此,R ? N。故N=R。 。 。 结论3. 结论 设R是有壹的交换环,a∈R,则 aR={ar r∈R}是R的理想,而且包含a。 证明: 证明: (1)aR非空,因为0=a0∈aR,a=a1∈aR。 (2)若x∈aR,y∈aR,则存在r1,r2∈R, 使得x=ar1,y=ar2,故 x-y = a(r1-r2) ∈aR (3) 若z∈aR,r∈R,则存在r3∈R,使得 z = ar3, 故 zr = ar3r = a(r3r)∈aR,rz = rar3 =a(r r3)∈aR。 因此,aR是含a的理想。 主理想结论 定义. 是有壹的交换环, ∈ , 定义 设R是有壹的交换环,a∈R,则aR 是有壹的交换环 称为由a生成的主理想,记为( )。 生成的主理想 称为由 生成的主理想,记为(a)。 结论4. 的主理想( ) 中包含a的 结论 环R的主理想(a)是R中包含 的 的主理想 中包含 理想中最小(在集合包含关系下)的理想。 理想中最小(在集合包含关系下)的理想。 证明: 中包含a的任一理想 证明:设N是R中包含 的任一理想,往证 是 中包含 的任一理想, (a)? N。 ) 。 任取x∈( , 任取 ∈(a),即x∈aR,则存在 ∈R,使 ∈( ∈ ,则存在r∈ , 是理想知, 得x=ar。由a∈N, r∈R,N是理想知, 。 ∈ , ∈ , 是理想知 ar∈N,即x∈N。所以,( )? N。 ∈ , ∈ 。所以,(a) 。 ,( 6.7.2 环 中 合 同 关 系 定义. 是一个环, 是一理想 对于a, 是一理想。 定义 设 R是一个环 , N是一理想 。 对于 , 是一个环 b∈R,如果 a-b=n∈N,或a=b+n,n∈N, ∈ , ∈ , , ∈ , 则称a和 模 合同 合同, 则称 和b模N合同,记为 a≡b (mod N)。 ≡ ) N的一个剩余类:N的一个陪集。 的一个剩余类: 的一个陪集。 含a的剩余类:a+N. 的剩余类:a+N. 为整数环I N=( =mI, 例. 设R为整数环I,N=(m)=mI,则 a≡b( b∈mI或m∣aa≡b(mod N),即a-b∈mI或m∣a-b,即 a≡b( a≡b(mod m)。 环中合同关系的性质 定理6.7.1 在环R中,对于模N,有 在环R 对于模N 定理 (1)反身性:a≡a; 反身性: a 反身性 (2)对称性:若a≡b,则b≡a; 对称性: 对称性 b a (3)传递性:若a≡b,b≡c,则a≡c; 传递性: 传递性 b c c (4)加法同态性:若a≡b,c≡d,则a±c≡b±d。 加法同态性: d,则 加法同态性 b c d, b (5)乘法同态性: a≡b,c≡d, ac≡bd。 (5)乘法同态性:若a≡b,c≡d,则ac≡bd。 乘法同态性 证明 (1)至(3)在群中已证, 不过是加法群 模加法子群 至 在群中已证 不过是加法群R模加法子群 在群中已证, 模加法子群N 的合同性。 的合同性。 d,故 (4)因为a≡b,c≡d,故a+N = b+N,c+N = d+N,于是 )因为a b c d, 于是 a± a±c+N = a+N±(c+N)= b+N±(d+N)= b±d+N, a+N± c+N) b+N± d+N) b± 即a±c≡b±d。 b (5)因为 ≡ b,c≡d,故a = b+n1,c = d+n2, )因为a , ≡ , n1∈N,n2∈N。于是 , 。 ac =bd+ bn2 + n1d + n1n2。 是一个理想, 但N是一个理想,故bn2∈N,n1d∈N,n1n2∈N, 是一个理想 , ∈ , , 因而bn 因而 2 + n1d + n1n2∈N,故ac≡bd. , ≡ . 6.7.3 环同态与同构 定义. 是一个环,S是有加 定义 设 R是一个环 是有加 、 乘两种运算的系统 , 是一个环 是有加、乘两种运算的系统, 中的同态映射, 中的映射σ是 到 中的同态映射 称R到S中的映射 是环R到S中的同态映射,如果 到 中的映射 σ(a+b)=σ(a)+σ(b),σ(ab)=σ(a)σ(b)。 , 。 若R到R’上有一个同态映射 则称 与R’同态 记为 上有一个同态映射,则称 同态,记为 到 上有一个同态映射 则称R与 同态 R~R′。 ~ 。 定义. 是环R到系统 上的一对一的同态映射, 到系统R’上的一对一的同态映射 定义 若σ是环 到系统 上的一对一的同态映射, 则称σ 上的同构映射或同构对应。 则称σ是R到R’上的同构映射或同构对应。 到 上的同构映射或同构对应 若R到R′上有一个同构映射,则称 与R′同构, 到 ′上有一个同构映射,则称R与 ′同构, 记为R 记为 ? R′。 ′ 定理6.7.2 设R是一个环,S是一个有加法和乘法 是一个环, 定理 是一个环 是一个有加法和乘法 的运算系统. 中的一个同态映射, 的运算系统.若σ是R到S中的一个同态映射,则 到 中的一个同态映射 R的映象 ′=σ(R)也是一个环, 的映象R′ σ 的映象 )也是一个环, σ(0)就是 ′的零0′ σ( )就是R′的零 ′, σ(-a)=-σ( )。 σ(a) σ( ) σ( 有壹而R′不只有一个元素, 若R有壹而 ′不只有一个元素,则 有壹而 R′有壹而且σ(1)就是 ′的壹 ′; ′有壹而且σ )就是R′的壹1′ 有逆, 若a∈R有逆,则σ(a)在R′中有逆而且 ∈ 有逆 ) ′ 就是σ σ(a-1)就是σ(a)-1。 ) 环的同态核 设σ是环R到R′上的同态映射,R′的 是环 到 ′上的同态映射, ′ 零0′的逆映象σ-1(0’)叫σ的核。 的核。 ′的逆映象σ ) )={x∣ σ-1(0’)= ∣ x ∈R ,σ(x)=0′} )= 环的第一同态定理 定理6.7.3 同态映射 的核 是R的一个理想。设 同态映射σ的核 的核N是 的一个理想 的一个理想。 定理 a’是R’的任意元素,则a’的逆映象 是 的任意元素 的任意元素, 的逆映象 σ-1(a’)={a∈R∣σ(a)=a’}是N的一个剩余类 。 的一个剩余类.。 ∈ ∣ 是 的一个剩余类 证明:因为σ 的加法群到R’的加法群上面 证明:因为σ是R的加法群到 的加法群上面 的加法群到 的同态映射,所以σ的核 σ 的子群, 的同态映射,所以σ的核N=σ-1(0’)是R的子群, ) 的子群 的逆映象σ 的一个剩余类。 且a’的逆映象σ-1(a’)是模 的一个剩余类。 的逆映象 )是模N的一个剩余类 再证N做成理想, 再证 做成理想,若a∈N,х∈ ,则 做成理想 ∈ ,х∈R, σ(aχ) σ( )σ(χ)=0’σ(χ) σ( χ)=σ( )σ(χ) σ(χ) , χ) σ(a)σ(χ) σ(χ)=0’, χ∈N,同样可证χ ∈ 。 故aχ∈ ,同样可证χa∈N。 χ∈ 剩余类的加、 剩余类的加、乘 是环, 是 的理想 的理想, 的关于N的 设R是环,N是R的理想,对R的关于 的 是环 的关于 剩余类引进运算,规定: 剩余类引进运算,规定: )=(a+b)+N (a+N)+(b+N)=(a+b)+N ) )=(a+b)+ )(b+N ) = ab+N (a+N)( )( 环的第二同态定理 定理6.7.4 按照剩余类的加法和乘法,R对 按照剩余类的加法和乘法, 对 定理 于理想N的所有剩余类的集合 是一个环, 于理想 的所有剩余类的集合R?N是一个环, 的所有剩余类的集合 是一个环 规定σ(a)= a+N, 规定 ( ) , 上的一个同态映射, 则σ是R到R?N上的一个同态映射, 是 到 上的一个同态映射 其核为N。 其核为 。 R∕N叫做 对于 的剩余环 ∕ 叫做 对于N的 叫做R对于 环的第三同态定理 定理6.7.5 若σ是环 到R′上的一个同态映 是环R到 上的一个同态映 定理 是环 射,其核为N,则R′与R?N同构: 其核为 , 与 同构: 同构 R′ ? R∕N。 ′ ∕ 。 证明:设a’是R’的任意元素,则σ-1(a’)是N 的任意元素, 证明: 是 的任意元素 是 的一个剩余类。规定 到 的一个剩余类。规定R’到R?N上的映射 上的映射 τ:a’ → σ-1(a’) 。 : 则τ是R’到R?N上的1-1对应的加群同 是 到 上的1 上的 态映射。 态映射。 证明 即若a′, ∈ 只需证明乘同态 , 即若 , b′∈R′ , 往证 τ (a′b′)=τ(a′)τ(b′) ′ ′ τ ′ ′ 使得σ(a)=a’, σ(b)=b’, 由a’,b’∈R’,有a,b ∈R,使得 ∈ 有 使得 于是, 于是,τ(a’b’)= σ-1(a’b’) = σ-1(σ(a) σ(b)) ) = σ-1(σ(ab))=ab+N τ(a’)τ(b’)= σ-1(a’) σ-1(b’) = σ-1(σ(a) ) σ-1( σ(b)) =(a+N)(b+N)= ab+N 上的一个同构对应。 故τ是R′到R∕N上的一个同构对应。 ′ ∕ 上的一个同构对应 定理6.7.6 定理6.7.6 设环R同态于 同态核为N,于是 设环 同态于R′:R~R′,同态核为 于是 同态于 ~ 同态核为 R与N之间的子环与 ′的子环一一对应, 与 之间的子环与R′的子环一一对应, 之间的子环与 大环对应大环,小环对应小环, 大环对应大环,小环对应小环, 理想对应理想。 理想对应理想。 间无理想。 R′与(0)间无理想 iff R与N间无理想。 6.7.4 单纯环与极大理想 定义.如果环R除自己和( 定义.如果环R除自己和(0)外没有别的理 想,则称R为单纯环。 则称R 单纯环。 是模5的整数环:{0 :{0, 4}。 例. 设R是模5的整数环:{0,1,2,3,4}。 任取R的理想N,则从加法角度看,N是 的子群, 任取R的理想N,则从加法角度看,N是R的子群, N,则从加法角度看,N 故由Lagrange定理,N│R。 R=5,所以 故由Lagrange定理,N│R。而R=5,所以 Lagrange定理,N│R N只能为1 5,亦即,N 或为(0),或为R,因此, (0),或为R,因此 N只能为1或5,亦即,N 或为(0),或为R,因此, 只能为 亦即 R是单纯环。 是单纯环。 极大理想 定义. 的一个理想N说是一个极大理想 定义 环 R的一个理想 说是一个极大理想 , 如 的一个理想 说是一个极大理想, 之间没有别的理想。 果N R,而R与N之间没有别的理想。 , 与 之间没有别的理想 是模12的整数环 例. 设R是模 的整数环:{0,1,2,…,11}。 是模 的整数环: , , , , 。 设N1=6R={0,6},则N1是主理想,但非极大理想: 是主理想,但非极大理想: , , 的理想N 有R的理想 2=2R={0,2,4,6,8,10},且N? N2 ? R。 的理想 , , , , , , ? 。 的极大理想。 N2是R的极大理想。 的极大理想 若取N 也是R的极大理想 的极大理想。 若取 3=3R={0,3,6,9},则N3也是 的极大理想。 , , , , 可见,极大理想不唯一。 可见,极大理想不唯一。 极大理想与单纯环的关系 而且只要R?N是单纯环。 而且只要 是单纯环。 是单纯环 证明: 证明:因R~R?N,所以, ~ ,所以, 定理6.7.7 若N R,则N是R的极大理想必要 定理 , 是 的极大理想必要 N是R的极大理想 iff R与N之间没有别的理想 是 的极大理想 与 之间没有别的理想 iff R?N与(0)间无理想 iff R?N是单纯环。 与 是单纯环。 是单纯环 上例, 的极大理想, 例. 由上例,N2是R的极大理想,故 的极大理想 R/N2={ N2 ,1+N2}为单纯环.N1不是极大理想,则 为单纯环. 不是极大理想, 为单纯环 R/N1={N1,1+N1,2+N1,3+N1,4+N1,5+N1}不是单 不是单 纯环。 纯环。 单纯环与域的关系 定理6.7.8 任意有壹的交换的单纯环R是一个域。 任意有壹的交换的单纯环R是一个域。 定理 证明: 只需证明R中任意非零元素有逆。 证明: 只需证明R中任意非零元素有逆。 任取a∈R,a≠0。 aR=( ),因为a≠0, 任取a∈R,a≠0。看aR=(a),因为a≠0, a∈R 因为a≠0 又a∈aR。故aR≠(0)。但R为单纯环,故 a∈aR。 aR≠( )。但 为单纯环, aR=R。今R有壹,故必有R中之元素b适合ab=1, aR=R。 有壹,故必有R中之元素b适合ab=1, ab=1 即a在R中有逆b。 中有逆b 单纯环与域的关系 定理6.7.9 任意域 是有壹的交换的单纯环。 任意域F是有壹的交换的单纯环 是有壹的交换的单纯环。 定理 证明: 的任意理想N≠( 证明: 取F的任意理想 ≠( ),往证 的任意理想 ≠(0) 往证N=F。 。 由N≠( )知,有a∈N,a≠0,于是有 -1∈F。 ≠(0) ≠( ∈ , ≠ ,于是有a 。 因为N是 的理想 的理想, 因为 是F的理想,故aa-1∈N,即1∈N,因 , ∈ , χ∈N, 此,对于任意的χ∈ ,有χ=1χ∈ ,即 对于任意的χ∈F, χ∈ χ∈ F ? N。但自然 ? F,所以 。但自然N ,所以N=F。因此,F为 。因此, 为 单纯环。 单纯环。 极大理想与单纯环、域的关系 极大理想与单纯环、 定理6.7.10 设 R是有壹的交换环 , N是 R的理想 。 是有壹的交换环, 是 的理想 的理想。 定理 是有壹的交换环 于是, ∕ 是域 必要而且只要N是极大理想 是域, 是极大理想。 于是 , R∕N是域 , 必要而且只要 是极大理想 。 证明: 是有壹的交换环知, R∕N有壹 有壹1 证明: 由R是有壹的交换环知,环R∕N有壹1+N, 是有壹的交换环知 且为交换环. 因 R∕N 中至少有两个元素 , 所以 中至少有两个元素, 且为交换环 . R∕N中至少有两个元素 所以NR。 。 R∕N是一个域 由单纯环与域的关系定理知,R∕N是一个域, 单纯环与域的关系定理知 R∕N是一个域, 必要而且只要R∕N是一个有壹的交换的单纯环, 必要而且只要R∕N是一个有壹的交换的单纯环,又 R∕N是一个有壹的交换的单纯环 根据极大理想与单纯环的关系,对于有壹的环R∕N R∕N, 根据极大理想与单纯环的关系,对于有壹的环R∕N, 极大理想与单纯环的关系 其为单纯环,必要而且只要N 其为单纯环,必要而且只要N是R的一个极大理想。 的一个极大理想。

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